... а теперь, простит меня Алик за офтоп, попытаюсь продемонстрировать пост одного немца, который на своем немецком форуме предоставляет методику расчета массы модельных вагонов НО в зависимости от тягового усилия локомотивов, массы вагонов, радиуса изгиба рельсов на повороте и допустимого при этом коэффициенте трения реборды и профиля рельса. Собственно, все параметры взаимовычисляемы. Меня этот пост, предоставленный все тем же "Человеком с ... " (Алексеем (MiG), поразил уровнем обсуждения на немецких форумах. Может, это и не гипотеза Пуанкаре, доказанная Гришей Перельманом, но все же приводит меня к мысли, что нас либо учили не столь серьезно, либо мы сами где-то не дорабатываем, может, какие-то книжки не дочитали, (типа Дампфлок Архив)
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https://www.sheyn.de/Modellbahn/FAQ/Zuggewicht.php
Online-Rechner zur Bestimmung der Zugmasse von Modellbahnwagen (Java-Script notwendig)
In der Modellbahn spielt beim Anlagenbetrieb stets die Zugkraft von Lokomotiven eine Rolle. Unglücklicherweise wird diese Zugkraft in Publikationen nicht in Newton (die Einheit einer Kraft), sondern physikalisch falsch, in Gramm (Einheit einer Masse) angegeben. Daher sind zuerst ein paar Definitionen notwendig, damit im Folgenden von Zugmassen die Rede sein kann:
Zugkraft einer Modellbahnlokomotive: die Kraft, die eine Modelllokomotive auf die Schiene zwecks Antrieb eines Modellzugs auf die Schienen maximal übertragen kann. Einheit in N oder mN
Zugmasse einer Modellbahnlokomotive: die Masse, deren Gewichtskraft gleich der Zugkraft der Modellbahnlokomotive ist. Einheit in g
benötigte Zugkraft eines Modellwagens: die Kraft, die notwendig ist, um einen Modellbahnwagen die Schienen entlang rollend zu bewegen. Einheit in N oder mN
benötigte Zugmasse eines Modellwagens: die Masse, deren Gewichtskraft gleich der benötigten Zugkraft des Modellbahnwagend ist. Einheit in g
Im Gegensatz zu den leicht zugänglichen Zugmassen der angetriebenen Modelle sind die Zugmassen, die zum Bewegen der Wagen benötigt werden meistens unbekannt und werden gerne ignoriert. Dabei ist die Bestimmung der Zugmassen von Wagen sehr einfach. Die theoretische und praktische Betrachtung soll daher an dieser Stelle folgen.
Theorie
Alles rollende Material hat einen Fahrwiderstand, welcher von der Eigenmasse, den Streckenverhältnissen (Steigungen, Kurven) und der Konstruktion (Radmaterial) abhängt. Man kann daher einen Ansatz folgender Art machen:
Ffahr = (μroll+μSteig+μreib+μKurv+μLuft)*Fges+μSchleifer*Fges
Da die Kräfte den selben Faktor g aus F = mg haben, kann man diesen wegkürzen und man erhält die Massengleichung:
mfahr = (μroll+μSteig+μreib+μKurv+μLuft)*mges+μSchleifer*mges
Dabei haben die Faktoren folgende Bedeutung:
μroll rollende Reibung
μSteig Steigung
μreib Lagerreibung
μKurv Kurvenwiderstand
μLuft Luftwiderstand
μSchleifer Schleiferwiderstand
Alle diese Faktoren sind aus mechanischen Größen mindestens abschätzbar. Daher sollen die Faktoren der Reihe nach besprochen werden.
μLuft
Der Luftwiderstand spielt nur bei hohen Geschwindigkeiten eine Rolle und berechnet sich nach:
μLuft=(ρ/2)*A*cw*v2/(mg)
ρ ist die Luftdichte (1,293 kg/m3), A ist die Querschnittsfläche, die von der Luft umspült wird (in m2), cw ist der experimentell zugägliche Luftwiderstandskoeffizient (ohne Einheit) und v ist die Geschwindigkeit in m/s. In der Modellbahn spielt dieser Faktor keine Rolle. Beispiel: A einer Wagenstirnwand ist ca. 4cm2, cw ca. 0,1 und v ist < 1m/s. Folglich ergibt sich für einen Wagen mit m=100g Masse ein μLuft von 2,7*10-5 oder 0,0027%. Gemessen an den folgenden Koeffizienten im Prozentbereich drei Größenordnungen kleiner.
μSchleifer
Wagen mit Schleifer haben einen bisweilen deutlich größeren Fahrwiderstand aufgrund der Feststoffreibung des Schleifers am Mittelleiter. Dieser zusätzliche Widerstand ist experimentell zugänglich, indem die Andrückkraft des Schleifers auf die Gesamtmasse bezogen wird:
μSchleifer = FSchleifer/Fges
Die Verwendung eines Koeffizienten ist physikalisch nicht korrekt, sie wird jedoch wegen der Zweckmäßigkeit hier angewandt. Bisher überprüft:
Pilzschleifer Typ 320S (117 mN)
Klapp-Skischleifer Typ 7074 (59 mN)
Skischleifer Typ 7193 (245 mN)
Diese �berschlagsmäßig gemessenen Kräfte sind mit 0.17 (Gleitreibung Metall-Metall) zu multiplizieren um die wirksame Kraft zu erhalten.
μSteig
Die Steigung einer Strecke wird stets in % angegeben und kann daher direkt übernommen werden. Möglich sind Steigungen bis ca. 7% für vorbildgerechte Anlagen und bis zu 15% in Modellbahnanlagen bei beengten Platzverhältnissen. Als Koeffizient entspricht 1% dem Faktor 0,01.
μroll
Für die rollende Reibung gibt es folgenden Ansatz:
Die senkrecht zur Gewichtskraft der Wagenmasse Q (ohne Radsätze) steht die aufzubringende Reibkraft P. Beide stehen im Verhältnis
P = μreibQ
. Vektoraddition beider Kräfte ergibt die Resultierende R, die im Winkel arctan (Q/P) zu Q steht. Verlängert man diese Resultierende R bis zum Radradius r ergibt sich der Hebelarm der rollenden Reibung f zu r*sin(arctan(P/Q)) oder
f = sin(arctan(μreib)) * r
Befindet sich diese Achse mit dem Radius r in einem Rad mit dem Radius RRad, so verkleinert sich nach dem Hebelgesetz die notwendige Kraft auf das r/R-fache. Zugleich kommt noch die zur Rollbewegung notwendige Kraft f�r die Radsätze hinzu, und man erhält:
mroll=(f/Rrad)*(Q+mradsatz) = sin(arctan(μreib))*(r/RRad)*mges
Daraus berechnet sich der Koeffizient für die rollende Reibung nach
μroll = mRoll/(mges) = sin(arctan(μreib))*(r/RRad)
μreib
Im Achslager werden die f�r eine reine Fl�ssigreibung notwendigen Drehzahlen nicht erreicht und es bleibt eine Gleitreibung übrig. Deren Größe hängt nur von der Wagenmasse (ohne Räder) und dem Zustand im Achslager ab. Diese Reibkraft wird ebenfalls nach dem Hebelgesetz, diesmal mit r/RRad auf die Schienen übertragen. Folglich setzt man an:
μreib= μLager * (mWagen/mges) * (r/RRad)
μkurv
Für den Kurvenwiderstand gelten folgende Überlegungen:
Ausgangslage: ein Trapez mit dem Abstand s (Spurweite) der Parallelen. Die lange Strecke hat den Abstand a+2h (a = Achsstand, h = Radber�hrungsweite von Radmitte bis zum Spurkranz). Die kurze Strecke hat a-2h. Beide Strecken haben an ihren Ecken jeweils den Abstand r_a (Au�enradius, lange Strecke) bzw. r_i (Innenradius, kurze Strecke) vom Mittelpunkt des Gleisbogens. Die beiden Strecken haben an ihrem Mittelpunkt den Abstand q_a bzw. q_i. Um nun den Radius auszurechnen kann man folgende Formeln aufstellen:
(I) r_a = r_i + s (Gleisbedingung)
(II) q_a = q_i + s (Achsbedingung)
(III) q_a^2 = r_a^2 - (a/2+h)^2
(IV) q_i^2 = r_i^2 - (a/2-h)^2
Nun geht das Rechnen los:
(I) in (III) = (V) q_a^2 = r_i^2 + 2r_i*s + s^2 - (a/2+h)^2
(II) in (V) = (VI) q_i^2 + 2q_i*s + s^2 = r_i^2 + 2r_i*s + s^2 - (a/2+h)^2
(VI) q_i^2 + 2q_i*s = r_i^2 + 2r_i*s - (a/2+h)^2
(VI)-(IV) = (VII) 2q_i*s = 2r_i*s - (a/2+h)^2 + (a/2-h)^2
(VII) 2q_i*s = 2r_i*s - a^2/4 - ah - h^2 + a^2/4 - ah + h^2
(VII) q_i = r_i - ah/s
(VII)^2 = (IV)
r_i^2 - 2r_i*ah/s + (ah/s)^2 = r_i^2 - (a/2-h)^2
(VIII) - 2r_i*ah/s + (ah/s)^2 = - (a/2-h)^2
(VIII) - 2r_i*ah/s = - (a/2-h)^2 - (ah/s)^2
(VIII) r_i = (a/2-h)^2/(2ah/s) + ah/2s
Die nach Formel (VIII) berechneten Mindestradien sind viel zu klein. Daher ist an dieser Stelle ein Experiment angebracht, mit dem ein empirischer Faktor zwischen Theorie und Praxis umrechnet. Zu diesem Zweck wurden drei verschiedene Konstruktionen ausgesucht und deren Mindestradius nach (VIII) berechnet:
1.) 10cm-Blechwagen Typ 4507 (Gmh 39 Stückgut-Schnellverkehr): s = 16,5mm; a=53,5mm; m=50g; Spurkranzhöhe=1,5mm; r=6mm; Radsatzmasse=11g; h (aus Radradius und Spurkranzhöhe) = 4,5mm. Daraus ergibt sich ein Mindestradius von 32,51mm.
2.) Moderne 11,5cm-Kunststoffwagen Typ 4430 (El-u 61): s=16,5mm; a=61,7mm; m=47g; Spurkranzhöhe=1,3mm; r=5,2mm; h=3,9mm. Dies ergibt einen Mindestradius von 40,44mm.
3.) alte Gußgüterwagen Typ 4606/4609 (Typ Rmms 63): s=16,5mm; a= 83mm; m=84g; Spurkranzhöhe=1,4mm; r=6,0mm; h=4,6mm. Hier berechnet sich der Mindestradius zu 51,05mm.
Allem Anschein nach sind diese Ergebnisse zu niedrig. Abschätzung: Faktor 5.
F�r den Bogenwiderstand setze ich an:
μges=μfahr*R/(R-Rmin)
mit R = tatsächlicher Radius, �_0 = Fahrwiderstand. Daraus:
μges= μkurv+μroll+reib
Folglich:
μkurv= Rmin/(R-Rmin) in %
Zur Bestimmung des Normierungsfaktors für den Mindestradius bei der Berechnung des Kurvenwiderstands wurde nun folgendes Experiment in der Ebene (Steigung=0) angesetzt:
o.g. Modelle auf Schienen stellen und mit einem Dynamometer gleichm��ig um die Kurven ziehen und die Kr�fte messen. Dies f�r drei Radien: R0 (286mm), R1 (360mm) und R2 (434mm). Erstaunlicherweise erhalte ich nun folgende, mit gro�er Streuung (ca. 15%) behaftete Ergebnisse:
Typ 1 (10cm-Blechwagen) mit �_Gesamt = 11,8, �_0 = 5 und folglich �_Bogen = 6,8 im R0 (entsprechend einem Mindestradius = 164,81)
Typ 2 (11,5cm-Wagen) mit �_gesamt = 12,2; �_0=3,1 ergo �_Bogen = 9,1 im R0 (--> r_min = 213,33)
Typ 3 (13cm Wagen) mit �_gesamt = 15; �_0=3,9 ergo �_Bogen = 11,1 im R1 (--> r_min = 266,40)
a
Im Vergleich zur theoretischen Ableitung ein Faktor von 5,19, gerundet 5,2
Dies f�hrt dann zur vereinfachten Formel:
r_min = 2,6*(ah/s + as/4h + hs/a)
mit a = Achsstand, s = Spurweite (16,5mm in H0) und h: Ber�hrungslinie Spurkranzrand-Schiene (Pythagoras aus sqrt((Radradius+Spurkranzh�he)^2-Radradius^2))
F�r o.g. Modelle ergeben sich nun folgende zus�tzliche Bogenwiderst�nde:
Typ R2 =434mm R1=360mm R0=286mm
1 0,636% 0,882% 1,439%
2 0,936% 1,398% 2,757%
3 1,567% 2,787% 12,586%
Der spezifische Fahrwiderstand setzt sich nun additiv aus allen Koeffizienten zusammen:
wt,rel = μroll+μSteig+μreib+μKurv+μLuft+μSchleifer
Man erhält schließlich die benötigte Zugmasse nach :
mZug = wt,rel * mges
und folglich auch die Zugkraft gemäß :
FZug = mZug*g
In der folgenden Tabelle können Sie nun die einzelnen Angaben nutzen, um die Zugmasse für ein bestimmtes Wagenmodell zu berechnen: (Kommazahlen bitte mit Punkt eingeben!)
Wagenmasse in g Rollwiderstand Steigung Lagerreibungswiderstand Kurvenwiderstand Schleiferwiderstand Ergebnis
10
Radius im Achslager in mm:1
Laufkreisradius in mm:10 o/oo
Wagenmasse ohne Räder in g:1
Achstand: 0 mm
Spurweite:
Spurkranzhöhe: 0 mm
Schienenradius: 0 mm FZug:0mNm Zug:0 g
wt,rel: 0 %
, вполне ожидаемый ответ. Тут, как говорится, даже к бабке не ходи. Более чем уверен, что даже если и в Dampflok Archiv (или и в любых других книгах или журналах) будет указано, что Т28 был поставлен в Deutsche Reichsbahn, это ничего не изменит (*). 
